微分演算子を使った連立微分方程式の解法

次のような連立微分方程式を考えます。

マセマティカで描画するとこんな感じです。

ベクトル描写画像の枠が斜めって見えてますが、それは錯覚になります。

上記の２つの式を次のように置きます。

の式を変形させてそれをの式に代入します。

このときの斉次解は、

となるのでこれを使って以下、

さらに特殊解においては、

となるので一般解は以下のようになります。

これを一階微分してまとめると以下、

次に上記式のをの式に代入して計算していきます。

これより、

ここでこの一般解に対してという初期条件を加えると、

となるので、

さらに、

となるので初期条件を加えると、

よって初期条件を加えた場合の一般解は次のようになります。

下の画像は同じ初期条件を満たす場合のこのときの同次解と非同次解との比較をグラフで表してあり、点線が同次になります。