微分方程式いろいろ

微分方程式いろいろ

備忘録のためのいろいろな微分方程式を扱ったサイトです。個人的な趣味の領域でやっているのでかなり脱線した内容もあるかと思いますが、そのへんのところは生あたたかい空気でおながいします。

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第０章 ━ 微分方程式の概念

○微分方程式とは式の中に独立変数とその関数さらにはその導関数を含んでいるものを含めていいます。微分方程式を解くということは与えられている式を恒等的に満たすものを求めることであり、その解には一般解と、さらには任意定数に特別な値を入れて求める特殊解などがあります。西暦１８００年前後において微分積分と呼ばれる数学分野がはじまり、それと同時に現実世界における自然現象の因果律を解明するものとして発展してきた学問なんだそうです。

Moment of Inertia

Moment of Inertia, also known as inertia, is a concept related to rotational motion. It quantifies an object’s resistance to changes in its rotational state.

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Linear Algebra

Linear algebra is ubiquitous in theoretical physics for those involved in modern science. It is learned in elementary mathematics.

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Vector Analysis

Vector analysis is physical mathematics using space vectors and is an extremely important theoretical concept utilized in various fields of modern physics.

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微分方程式は大まかに分けて言うと次の２つに分類されます

• 常微分方程式
常微分方程式－関数とその導関数、と独立変数を含む方程式で独立変数の数は一つのもの


• 偏微分方程式
偏微分方程式－ある関数のなかに変数がなどその導関数も含めて2つ以上のような多変数存在するもの

微分方程式のいくつかの例

【例１】

両辺をに対して微分します。

これをさらに微分します。

以上のように求まるので整理すれば次のような方程式が求まります。

Analytical Mechanics

Invitation to Elegant Classical Physics – Physical mathematics expressed in a mathematically sophisticated form using analytical methods.

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O.D.E

O.D.E refers to Ordinary Differential Equation. A differential equation that depends on a single independent variable.

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P.D.E

P.D.E refers to Partial Differential Equation. P.D.E is a mathematical equation that involves multiple independent variables

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Bessel Function

Bessel functions, first defined by Bernoulli and then generalized by Bessel, are canonical solutions of Bessel’s differential equations.

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【例2】円に関する考察

次の円について考察してみましょう。

この円に関しての方程式は、だったと思います。

これをで微分するとどうなるでしょうか？

実際にやってみると、

求められた式を整理すると以下のような方程式が求まります。

これは円の接線方向の傾きを意味しています。

Heaviside’s methods

The Heaviside operational calculus is to consider differentiation as an operator D = d/dt acting on functions.

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Fourier Analysis

Fourier Analysis is a method of describing periodic waveforms using expressions of trigonometric functions.

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Laplace’s equation

The Laplace equation is an elliptic P.D.E. The solution is obtained by applying boundary conditions.

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Properties Bessel Function

Solutions of Kepler’s equations and applications to planetary motion opositions and conjunctions.

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【例３】力学への応用

一様な重力場中における質点の力学的エネルギー

全微分の式を使って、力学的エネルギーが時間によらず一定、

つまり、

であることの証明をします。

ちなみに時間で微分する場合はなどという書き方をします。

意味的にはと全く同じになります。

呼び方はドットといいますのではワイのワンドットなどといったりします。

力学的エネルギーの式には変数がとの2つになっているのでと表せます。

これに対して全微分の式を適用させれば、

の式に対してそれぞれで偏微分します。

先ほどの全微分の式に対してこのの偏微分の式を代入します。

この式をスカラー倍します。

ここでより

これにより、

よっては時間によらず一定であることがわかりました。

P.D.E

P.D.E refers to Partial Differential Equation. P.D.E are differential equations that deal with multivariate functions.

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Boundary value problem

A boundary value problem is a solution to a differential equation that satisfies the boundary conditions.

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上記にあげたコンテンツが微分方程式の簡単な参考程度のものです。

◆このサイトの趣旨

このサイトは管理人が備忘録的要素も兼ねながら外環境にコンテンツを順次アップロードしているサイトになります。 更新頻度は数週間から数か月に1コンテンツぐらいになるかと思いますが現在、管理人が多忙のためそれ以上になっております。
その辺のところを何卒ご了承くださいますようよろしくおながい申し上げます（＾ω＾）ﾌﾞﾋｯ

Mathematical Statistics

Apply mathematics to statistics. Specific mathematical techniques used include linear algebra, stochastic analysis, and differential equations.

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Black–Scholes model

The Black-Scholes option pricing model refers to the computational model required when pricing options in financial engineering.

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Network Engineer

Network engineers are information technicians who provide services in companies and organizations using routers and switches.

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