2重振り子①-微小な場合


2重振り子の振動①-微小な場合

おもりを2つ吊るした振り子の微小振動の動きをラグランジアンを使って解析してみましょう。

糸の重さは無視できるものとします。

微小振動としているので、

このような場合は水平方向のみを考えればよいです。

まず運動エネルギーは、

ポテンシャルエネルギーは、

とした場合となってしまうので、以下のように級数展開します。

より、

とします。

これを使えば、

よってラグランジアンは次のようになります。

より、

に関しても同様にして、

ここでとして見やすくすると、

さらにとおけば、

2つのおもりの角振動数を、初期位相をとし、解を次のように置きます。

それぞれ2度微分すれば、

これらを、

に代入します。

これより、

上記の式においてが同時ににならない条件を求めます。

その条件は永年方程式を使って次のようになります。

この行列式を計算します。

ここでとすると、

この上記方程式を解いていきます。

解の公式を使って求めると、

置き換えたをもとに戻せば、

以下のように求まります。

これが微小振動における2重振り子の基準振動数になります。

連成振動の解①

図の弦は長さ3lで糸の張力Sで張っておき長さlごとに質量mのおもりを結び付け、そのおもりは直角方向のみに振動するものとします。

連成振動の解②

壁側についているばねのばね定数をc、真ん中のバネのバネ定数をkとし、そのバネの境に重さmのおもりをつけた場合の連成振動の解を導きます。

2重振り子の振動①

糸の重さは考慮せずおもりを2つ吊るした振動角をθ1とθ2とした場合の振り子の微小振動の動きをラグランジアンを使って解析してみましょう。

2重振り子の振動②

それぞれの重りはどちらも質量mとし、その重りをつないでいる糸の長さはlで曲がったりせずかつ重さは無視できるものとします。


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