オイラーの式
ある関数の積分、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/euler_lagrange_equation_formula_default_huge_2024img-1.png)
があるとします。
この差異を考えて、この時の変位をとするとこれが極致を持つ条件というのは、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/euler_lagrange_equation_delta_f_integral_huge_2024img1-1024x455-1.png)
をちょっとだけ動かしたものを、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_y_finite_difference_methods.png)
その導関数の変分をとると、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_y_finite_difference_methods_calculation_process_img1.png)
微分と変分は入れ換えることが可能であるとします。
さらに、関数に対して全微分の公式を適用すると、次のようになります。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_fy_finite_difference_methods_default_img.png)
上記の式に対して、以下の式、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_y_finite_difference_methods_replace_img.png)
を適用すると次のようになります。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_y_total_difference_methods_replace_img.png)
さらに先ほど出てきた、
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_f_euler_lagrangian_integral_stationary_value_large_img1.png)
を適用すると次のようになります。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_f_euler_lagrangian_integral_stationary_value_large_img2.png)
上記式を計算していきます。
右辺第2項の積分計算に関しては以下のように部分積分を使います。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_f_euler_lagrangian_integral_stationary_value_integration_substitution_img1-1024x127-1.png)
ここで上式の部分積分を施した右辺第一項は、端点を固定(同じポイント)しているので結果はになります。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_f_euler_lagrangian_integral_stationary_value_integration_substitution_img2.png)
に代入していきます。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/delta_f_euler_lagrangian_integral_stationary_value_integration_substitution_img3.png)
そしてこの積分がに対して結果が
とならなければならないので次のようにおくことができます。
![](https://diff-eq.com/wp-content/uploads/2024/06/euler_lagrangian_equation_default_img2024.png)
これがオイラーの方程式、またはオイラーラグランジュ方程式と呼ばれているものになります。
![](https://diff-eq.com/wp-content/themes/x-t9/inc/patterns/images/sample-image-gray.png)
2点を結ぶ曲線の長さ
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