２階微分作用素

オペレータ作用素が２階（２階微分）が入っている以下のような微分方程式を考えます。

これを定型数２階非同次微分方程式と呼びますが、この式の右辺がの場合を定型数２階同時微分方程式と呼びます（非同次式の解法はまた別のセクションで取り扱います）。

なのでこのセクションで扱う微分方程式は以下のようになります。

この上記微分方程式の解について考察していきましょう。

今仮に上記微分方程式の解であるを次のように置きます。

が解であるとします。

これを実際に代入してみると、

ここで2次方程式とその解の公式は、

だったのでこれを先ほどの式に当てはめれば、

判別法というのを思い出すとですが、これによって解の種類が3種類ほどに分別できます。

のとき

解は異なる２つの実数の解となり、基本解は、

よって一般解は、

のとき

解は重解となります。

この場合、この特性方程式の根はですが簡単に基本解が同じもの2つということにはなりません。階の微分方程式には個の任意定数を含む個の解が必要です。

に対して線形独立なもう一つの解を求めます。その2つ目の解を仮にと置きます。

するとはとなります。

これを式に代入してみると、

この式を積分していきます。

となりますがここでもとめているのはとは違う独立な解を求めることなのでこれをと置きます。

そうすると、

ここで、

とおけば基本解は、

一般解は次のようになります。

の場合

このとき解は実数と、それ以外に虚数と呼ばれるものがミックスされた複素共役と呼ばれるものになります。

根は、

基本解は、

実数がに対応し虚数側が、といった三角関数のほうに対応しています。

これの特性方程式は、

例題

次に示す2階の同次微分方程式を求めてみましょう。

まず特性方程式を作ります。

因数分解ができないので解の公式を使って求めていきます。

となるので基本解は、

一般解は以下のようになります。

解であることの証明

実際に上記で求まった解が例題の2階同次微分方程式に代入して合っているか確かめてみましょう。

1階微分は、

2階微分は、

これらを代入していきます。

となるので、は例題として出された2階同次微分方程式の解であることがわかります。