フーリエ級数展開とは

フーリエ級数展開とは、ある周期的な関数をコサインやサインなどの三角関数を使って関数の和の形に表したものになります。

このセクションではサインコサインそれぞれに付随する項に分けながら実際の簡単な周期関数に対してこのフーリエ級数展開を用いてそれらを表現していく方法に関して考察していきます。

フーリエ球数展開

区間における積分可能な関数は次のように展開することが可能です。

このように表現されるとき、上式の右辺において以下のように展開していった式、

の部分をフーリエ級数展開といいます。

ここで上記式のは次のようになります。

この

を求めていきます。

まず、

の両辺にをかけます。

これをからまでにかけて積分を実行します。

◆右辺第1項の計算

まず右辺第一項、

から計算していきます。

なので。

よって、

次にの導出において三角関数の性質についておさらいします。

三角関数の加法定理に関しては以下のような性質があります。

上記の式を覚えるコツははのほうは“シンコスコッシン”、のほうは“コスコスシンシン”、などとすると覚えやすいです。

そしての場合は符号はそのままで、のほうは符号が逆になるということに注意します。

この式において、互いに引き算足し算などをするとさらに次のような式が示されます。

こういった性質を使って上記の積分を解いていきます。

◆右辺第２項の計算

まずの場合、

上記式においては三角関数の、という関係を使っています。

次にである場合、

この結果から、の場合、はのときだけでない結果が出ます。

より、

さらにの部分は、コサインの偶奇性を使えば、

となり結果はになります。

今度はの両辺にをかけてそれをからまでにかけて積分を実行します。

上記氏において右辺第1項は、なので式自体が消去できます。

さらに第２項も上記のように計算していけば同様に結果はになります。

◆右辺第３項の計算

のとき、

次にのときは、

この結果によりのときはのときだけでない結果が出ます。

上記結果より、

となりますがなので上記のに関してはからではなくからになるので、

ここでの展開において初項を考えます。

の項を展開していった場合はがから始まります。

なのでそのの展開した最初のを書き出すと次のようになります。

ここでに関しては、

これを代入すれば、

先ほどの項の場合は和の記号がちょうどから始まるので項と同じ和の記号を使えます。

まとめれば、

具体的な例

次に示す範囲のをフーリエ級数展開してみましょう。

最初にを求めます。

次にを求めます。

よって求めるは、

まとめれば、