エルミート多項式の直交性

エルミート多項式の定義式

ここでもう一つの定義式の変数をとして次のように置きます。

上記式の両辺に対して、します。

した式とを辺々かけ合わせます。

ここで上記式の左辺乗数部分を次のようにして式変形をしていきます。

以下のような関係式が導かれます。

この導かれた上記関係式に対してでからまで積分します。

と置くと、

左辺に関して、

よって、以下のような式が導かれます。

さらにここで、次のような指数関数の和の形への変換、

を思い出せば、次のような式変形ができます。

ここでいったん上記式に関しての直交性を確認するために和の記号を取り外して次のように式を置きます。

エルミート多項式の直交性の確認

上記式が成立する条件を考えます。
今仮にだとすれば、

ここで次のようなロドリーグの式を思い出せば次のようなものになります。

上記の公式に先ほどのを代入して計算すると、

となるので、

これを式に代入すると、

ここで次のようなガウス関数に関する公式をまず最初に明示しておきます。
ガウス関数に関しては次のような公式が存在します。

なお下の式のはLaTeXコードの打ち間違いではなく2重階乗(double factorial)というものになります。

上記の公式により偶数のみの計算をしていきます。

上記3式の一番上の公式より、