デルタ関数のフーリエ変換

フーリエ変換の式

まずはある関数を考え、ここでを虚数単位とするとのフーリエ積分表示は、

このときのをのフーリエ変換といい、具体的には次のように書きます。

デルタ関数とは

ここでデルタ関数というものを導入し考察してみましょう。このデルタ関数というのは、つまり以外の場所においての値はすべてで、でのみその値がとなり、かつその面積が“１”になると定義される関数です。

デルタ関数のその他の表し方：フーリエ積分表示

ある３次元空間（Ｐ空間）において次のように表現される関数、

を考えこれに対して(グラディエント)や(ダイバージェンス)などを作用させ変形していきます(これについての詳しい説明はベクトル解析を参照してください)。

ラプラシアンを使って次のように表します。

これの積分領域を全空間として表示すると次にようになります。

ここで空間の極座標に変換します。

ただし軸をの方向になるようにとればその微小部分のヤコビアンは、

またドットプロダクトの基本定理により、

これらを利用して代入すれば次のようになります。

まず変数変換としてと置き、これをで微分すれば、

となるのでこれを代入します。

ここで三角関数の性質、

により、

これを代入すれば、

さらにここで次のような公式、

を使えば、

よって次のようになります。

これにより一次元でのデルタ関数は次のようになります。

デルタ関数を使ったフーリエ変換式の求め方

今ここでこのデルタ関数において$x$方向にだけ水平移動させたとすればデルタ関数は,

これを使えば先ほどの一次元デルタ関数は次のように表現できます。

関数において区間との積は、

これをからにおいて積分を実行すれば、

簡単にいうと非常に小さい区間においての長方形の面積を求めているといった感じで考えてください。

この式にを代入します。

結果として次のように求まります。

出てきた式を見てわかるように上記式変形中において出てきた下部鍵括弧のなかのものは最初に示したフーリエ変換式です。そして右辺の一番最後に出てきた式をフーリエ逆変換の式といいます。

フーリエ変換
フーリエ逆変換