階段関数のラプラス変換(査読および作成編集中)

注)このコンテンツはヘヴィサイド～とありますがヘヴィサイド演算子法とは別のカテゴリチャプターのラプラス変換階下のコンテンツになります。

ヘヴィサイドの階段(単位)関数

次のような性質をもった関数を考えます。

この階段関数をラプラス変換する場合、はでで、で1であることを考慮すると、

これを計算していくと、

この結果によりのラプラス変換はが以下のときで発散し以上のとき以下のようになります。

ここで複素数に関して実数部をとおいて、虚数部をと置きます。
そうすると、上式の右辺に関して、

さらにここで三角関数の公式を使えば、

これを引き足しすれば以下のような関係式が求まります。

これを使えば、

このラプラス変換が存在するためには三角関数の絶対値が１以下であることを考慮すれば次のような条件が決められます。

のは複素数で実数部を意味します。

この階段関数を使うことによりある関数に関して区分的に分けるということができ、またこういった性質は何ステップにもわたって作ることが可能になります。

例えば次のような表現も可能になります。

実際にこれを計算していきます。

ここで次のようにおきます。

さらに次のようにおきます。

辺々足し引きすれば、

代入します。

となるので階数が３のヘヴィサイド階段関数のラプラス変換は以下のように求まります。