2重振り子②-微小でない場合
2重振り子の振動②-微小でない場合
微小でない場合の2重振り子の振動
上図のそれぞれのおもりはどちらも質量をとし、その重りをつないでいる糸の長さはlで曲がったりせずかつ重さは無視できるものとします。
軸に関しては下向きにとります。
こうした場合、ラグランジアンの式は次のような式になります。
途中の式では以下のような三角関数の公式、
を使っています。
についてのラグランジアンは、
ここで三角関数の公式を使うと、
ここで求まった上記式に対して以下の三角関数の公式を適用します。
そうすると以下のように求まります。
この結果をについてのラグランジアンに使えば、
次はに対しても同じようにすると、
となるので以下のように求まります。
上記の式に関してそれぞれ、のそれぞれについて求めていきます。
まず上記式に関して、
出てきたこの式を式に代入すると、
さらに計算していきます。
これによりに関しては以下のように求まります。
また上記式導出においては三角関数におけるの性質であるを使っています。
次にを求めます。
まず、式においてについて変形すると、
この式を、先ほどの、
の式の右辺のに代入し計算していきます。
これより、
この式の右辺をさらに以下のようにして計算していきます。
これによりは以下のように求まります。
まとめれば以下のようになります。
出てきた式を見てわかるように、かなり複雑な運動を行うことが予想できると思います。
さらにおもりの重さの違いや糸の長さの違いなどが加わればもっと複雑な、なかばカオス的な状態を導くことになります。
近似式を用いた振動の考察
いったんここで、上式において次に示す近似式、
これらを代入して計算するとどうなるかを考察してみましょう。
まずより、
さらにより、
結果として次のような関係式が求まります。
さらに今度は上記関係式を連立させて計算していきます。
まず、
次にの式に関してそれを2倍して辺々かけ合わせます。
先ほどの複雑な2つの式が以下のように簡単な形式の連立微分方程式になります。
ここでとおいてみましょう。
すると、
これは2重振り子の振動①-微小な場合において求められた、の連立式と同一なものであることがわかります。
連成振動の解①
図の弦は長さ3lで糸の張力Sで張っておき長さlごとに質量mのおもりを結び付け、そのおもりは直角方向のみに振動するものとします。
連成振動の解②
壁側についているばねのばね定数をc、真ん中のバネのバネ定数をkとし、そのバネの境に重さmのおもりをつけた場合の連成振動の解を導きます。
2重振り子の振動①
糸の重さは考慮せずおもりを2つ吊るした振動角をθ1とθ2とした場合の振り子の微小振動の動きをラグランジアンを使って解析してみましょう。
2重振り子の振動②
それぞれの重りはどちらも重りmとし、その重りをつないでいる糸の長さはlで曲がったりせずかつ重さは無視できるものとします。
-
フェルマーの原理
フェルマーの原理というのは媒質中(屈折率は一定とします)を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとる…
-
エルミート関数
常微分方程式で与えられているエルミート微分方程式とは、一般的にエルミート多項式のことをいいます。このエルミート…
-
フーリエ余弦正弦展開
cos xとsin xのグラフを見てわかるようにy軸を中心にして考えるとそれぞれが左右対称および非対称に分かれ…
-
フーリエ変換
xの世界の現象をPの世界の現象に置き換えて(変換して)見通しをよくするといった数学的手法にフーリエ変換と呼ばれ…
-
ベッセル関数
ベッセル関数とは、ドイツの天文学者ベッセルによって行われた惑星の軌道運動に関しての解析的な研究から始まった一連…
-
ラプラス方程式
ラプラス方程式とは、2階線型の楕円型偏微分方程式のことになり、境界条件を付したある領域内においてφ=Fなる条件…
-
-
-
-
-
-
微分演算子による連立微分方程式の解法①
カテゴリー : 微分演算子による連立微分方程式の解法①微分演算子による連立微分方程式の解法 ━ ある関数を、例えばtで微分する場合は左側からd/dtのように演算子を…
-
-
-
-