量子力学

量子力学 ━ 佐野量子の量子と書いてりょうしりきがくと読みます。漁師力学ではありません。近代に入ってから発展してきた現代物理学のことを一般的に差し、通常(正統派)の物理学を古典物理学などと言ったものに対比して対照的な表現として用いられることもあるようです。

その振る舞いは通常の物理学の考えとは一線を画した量子状態といえるものになり、難解な数学によって無理くりにその因果律を求めてきたという感じのものになります。どのような無茶ぶりかというと、例えば、仮に道端に一本の小枝が落ちていたとします。この小枝が真直線であり、さらには地球そのものが真球であったとします。小枝の始点をA、終点をBとした場合、始点Aをずっと伸ばしていった場合、その始点Aはいづれ地球をぐるっと回って終点のBにたどり着くはずです。それがそうならない理由を数学的に証明しろ、と言っているような学問になります。こうしてたとえてみればいかに量子力学という分野が無茶苦茶な物理学分野であることがわかると思います。ただしこれはあくまで私個人の感覚で言っていることになりますので内容が飛躍した表現であったと思われる場合は、決して語弊を招くためのものではないことを念のため言っておきます。

ラプラス変換

ある関数f(t)に対して指数関数のeに乗数-stのものをかけてそれを0からプラスの無限大までの範囲において積分して、その積分によってf(t)とは違う関数を導き出す数学的手法にラプラス変換と呼ばれるものがあります。フーリエ変換コンテンツでも言ったように時間Tの世界で表現されていた関数を複素数のsの世界の関数に置き換えることにより、通常では簡単には解けないような複雑な微分方程式をこのラプラス変換を行うことによって見通し(計算を簡素化)をよくするといった利点があります。

2024年6月8日マイグレーション完了

diff-eq.comのドメインを取得してから約1年がたち、今年の3月末から本格運用を開始していたが、CentOS7という古いサーバOSであることとと、さらにはメモリが1GであるためレイテンシおよびOSの脆弱性が問題になっていた。私は本業(平日昼の仕事)はシステムエンジニアでありなかなか時間が取れない身でありながらこの2週間で何とかやりとげて無事にうまくいったといった感じになる。あとは細かい手作業をのぞけば、ほぼ作業は完了といった具合になる。

普段は新しい業務の遂行および習得とそれに伴うライセンス資格の取得、さらには数学の研究やアクチュアリや量子力学分野の数学の習熟など、やることが山ほどあり、このWebサイト構築運用までなかなか手に付けられない状態ではあるが何とかここまでやってこれた。

この調子で今までやっていた、あるいは今後やっていくだろうその研究内容などを今後も継続してWebサイトの構築運用に振り向けられればと思っている次第になる。

フェルマーの原理

フェルマーの原理というのは媒質中(屈折率は一定とします)を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとるというものになります。幾何光学においては基礎的な理論になりここではこれに関して変分法を使って表してみましょう。

フーリエ余弦正弦展開

cos xとsin xのグラフを見て分かるようにY軸を中心軸として考えるとそれぞれが左右対象と非対称に分かれています。このためその偶奇性によりcos xはf(-x)=f(x)なので偶関数、sin xはf(-x)=-f(x)なので奇関数であるといえます。求めようとしているフーリエ級数展開においてが偶関数、または奇関数のどちらか一方であったならばそのフーリエ級数の、もしくはのどちらかいっぽうがになります。

フーリエ変換

xの世界の現象をPの世界の現象に置き換えて(変換して)見通しをよくするといった数学的手法にフーリエ変換と呼ばれるものがあります。実際の現象を微分方程式によって導き出そうとした場合、たいていの場合は簡単なことではありません。そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があります。

ベッセル関数

ベッセル関数はドイツの天文学者ベッセルによって行われた惑星の軌道運動に関しての解析的な研究から始まった一連の数学関数群のひとくくりのものをさします。ここでは歴史的背景を考慮してケプラー方程式の導出と、そこから導かれる上記に示したベッセルの微分方程式そのものの導出までの詳細な過程を考察していきます。

ベッセルの微分方程式

ヘルムホルツ方程式と呼ばれる式に対し、円柱座標を適用させて得られるある微分方程式があります。この微分方程式の解を導くためには普段通りのやり方だとうまくいかないので、ある級数を一つの解として仮定するやり方─“級数解法”という方法を使ってその解を求めていくことになります。